Hello les gens.
Je cherche une démonstration la plus courte possible (mais pas forcément simple) de l'impossible quadrature du cercle (en géométrie euclidienne, bien sûr). J'ai déjà galéré pour trouver UNE démonstration, et je n'ai pas vraiment le temps de continuer mes recherches. Alors si quelqu'un s'ennuie et veut bien faire cette recherche pour moi, ben merci d'avance.

Pour ceux qui ne connaissent pas le problème de la quadrature du cercle, le voici :
Construire, à la règle et au compas uniquement, un carré de même aire qu'un cercle donné.

Il a été démontré récemment (en 1882 par Ferdinand von Lindemann) que ce problème était insoluble. La méthode de démonstration utilisée passait par la transcendance de pi, ainsi que par pas mal de problèmes d'intégrales.

cf Wikipédia pour plus de détails.

Ver2guerre a écrit:

Il a été démontré récemment (en 1882)

Sans commentaire

C'est relativement récent, comparé à quelques-uns des théorèmes les plus répandus que sont le théorème de Pythagore, de Thalès, Al Kashi, le triangle de Pascal (connu des Persans avant le XIè siècle, des Chinois au XIIIè siècle), les nombres premiers de Mersenne (fin du XVIè siècle), les deux théorèmes de Fermat (certes un peu plus "récents"), le crible d'Ératosthène, voire même les fameux os d'Ishango datant de 20 000 ans avant notre ère (Oui, je sais, ce n'est pas vraiment un théorème, mais bon ^^)

Alors, convaincu ? Et puis... Je ne veux pas râler, mais ta remarque ne m'était pas d'une très grande utilité.

(comme d'hab' ? =p)

pis oui, récent c'est pas forcément le XXIème siècle, tu l'apprendras sûrement dans tes études futures...

EDIT : pis la SVT et la géologie (étude des couches tout ça) c'est encore pire, vu que c'est sur des dizaines de millions d'années, voire des milliards d'années, un truc de 100 000 ans est très récent XD

Échec critique en jet de réponses...

Si le sujet de la quadrature est trop restreint, ça me va si vous me trouvez une autre démonstration dans le style "haut niveau"...

ah zut, il faut se dépêcher XD
c'est trop tard là j'suppose, t'as plus cours non ?

C'est pas grave, ce sera pour après les vacances.

On m'a conseillé le théorème de Chudnovsky, mais impossible d'en trouver une démonstration...

à tes souhaits oO

Lool, je me suis dit la même chose en voyant le nom ^^

moi j'arrive jamais à écrire Tchebichev correctement (j'crois qu'il y a un t quelque part) tout comme Nietzche (c'est ça ? oO) l'année dernière en philo

ça s'écrit Tchebitchev et Nietzsche ...

oué voilà
mais un nom avec un tel enchainement de consonnes %)

Mieux que le théorème de Chudnovsky : le théorème de la boule chevelue. Très sérieux comme théorème, avec une démonstration assez jolie...

c'est un théorème de maths ? XD

Oui oui, avec un énoncé tout à fait rigoureux :
"un champ de vecteurs continu sur une sphère de dimension paire au moins égale à 2 s'annule en au moins un point."

c'est quoi la dimension d'une sphère ?

point : 0
segment : 1
cercle : 2
sphère : 3
hypersphère : 4
et on continue...

ah ok
(c'est quoi une hypersphère ? XD)

Pour se représenter une hypersphère, il faut déjà se représenter une sphère (facile) et un espace à 4 dimensions (encore plus simple).
Quoi non ? Tu prends l'espace en 3D, tu y ajoutes le temps, et te voilà avec un espace en 4D. Tu as ta sphère et ton espace en 4D ? Parfait. Voyons à quoi peut ressembler une hypersphère.

La sphère doit avoir un caractère trigonométrique dans toute les dimensions, y compris dans le temps. Rien de plus simple, tu fais varier son rayon en fonction du sinus ou cosinus du temps. Très rigoureusement, ça nous donne l'hypersphère définie par :
son hypercentre A(x0,y0,z0,t0) (qui peut être interprété comme un point n'existant qu'au temps t0, aux coordonnées x0, y0, z0)
et son rayon définie par R(t)=cos(t-t0) (pour que son rayon soit maximal en t0)

Seuls problèmes de ma définition : premièrement, elle n'est valable que pout t-t0 variant entre -pi et pi (en dehors, la sphère ne doit pas exister, mais est pourtant définie dans mon exemple) ; deuxièmement, la définition du rayon fait plus penser à une sphère à taille dynamique qu'à une hypersphère qui doit pouvoir être imaginée "découpée selon un espace 3D".

Concrètement, qu'est-ce que ça donne ? Un espace vide, où tout à coup un point apparait, et grandit en une grande sphère, sa croissance diminue au fur et à mesure qu'elle grandit, puis elle atteint un rayon maximal et commence doucement à rapetisser, de plus en plus rapidement, jusqu'à totalement disparaître.

Après l'hypersphère, tu peux ajouter des dimensions, et t'imaginer une sphère en dimensions n (je n'arrive qu'à 9 dimensions, dont une qui n'en ai pas vraiment une).
Pour ajouter une dimension, rien de plus simple : tu prends un espace vectoriel que tu t'imagines bien, et tu appliques ... le théorème de la base incomplète. Ce qui veut dire que si tu ajoutes un paramètre qui n'est pas combinaison linéaire des autres, tu ajoutes une dimension.

Voici mes 9 dimensions à moi, qui me permettent de me représenter une sphère en 9D (je tenterais d'ailleurs de vous faire une animation de sphère en 5D):

• abscisses
  
• ordonnées
  
• cote
  
• sonorité
  
• intensité lumineuse
  
• coloration (je l'imagine plus ou moins rouge, mais cette dimension est malheureusement "bornée")
  
• temps
  
• Une sorte de "déphasage", la seule dimension qui soit totalement imaginaire
  
• "niveau" qui équivaudrait à mettre une étiquette numérotée à chaque point (cette dimension serait donc quantifiée, ou pas si on a un cerveau Intel centrino hexa-coeur à 134 GHz, ce qui n'est pas mon cas )

Les personnes observatrices auront pu remarquer que la coloration plus ou moins rouge laissait une voie ouverte aux colorations : plus ou moins bleu, et plus ou moins jaune, permettant ainsi de monter à 11 dimensions. Mais c'est déjà assez hard comme ça :p
(j'en profite, exemple parfait pour en parler. On considère un espace vectoriel de dimension 11 avec comme base tous les paramètres dont j'ai parlé avant. Le "vecteur" plus ou moins orange ne permettrait pas d'ajouter une 12ème dimension car il est combinaison linéaire du jaune et du rouge.)

Bon, j'arrête de blablater, et je vais dormir :p

Waï le message de ouf !! J'ai jamais écrit autant.

Ce que j'adore, c'est ma signature tout à la fin d'un tel message. Je crois qu'en fait, j'ai lu dans vos pensées xD

arf oui effectivement le contexte est bon là XD